a≡ b(mod d)a和b是模d同余的。

一.

有定理：如果a≡x(mod d),b≡m(mod d),则a*b≡x*m (mod d )。

下面来说说该定理的应用，我们知道一个数的各个位数之和如果能被3整除那么这个数也能被3整除，如12，因为1+2=3能被3整除，所以12也能被3整除。如果我们利用定律6，就可以找出任何一个数能被另一个数整除的表达式来。
如我们用11来试试，11可以表示为10+1，所以有同余式：

10≡-1 （mod 11）
把上式两边都乘以各自，即：

$$10*10≡（-1）（-1）=1 (mod 11)$$ $$10*10*10≡（-1）（-1）（-1）=-1 （mod 11）$$ $$10*10*10*10≡1 （mod 11）$$

我们可以发现，任何一个（在十进制系统中表示的）整数，如果它的数码交替到变号之和能被11整除，这个数就能被11整除，如1353这个数它的数码交替变号之和为：1+（-3）+5+(-3)=0,因为0能被11整除，所以1353也能被11整除。$3≡3(mod11);5*10≡5*(-1)=5(mod11);$

$3*10*10≡3*1(mod11);1*10*10*10≡1*(-1)(mod11)$。

其他的数的找法也一样，都是两边都乘以各自的数，然后找出右边的数的循环数列即可。

二.

对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。

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举个栗子：

现在给你一个自然数n，它的位数小于等于一百万，现在你要做的就是求出这个数除10003之后的余数。

思路：

同余定理：(a+b)%c=((a%c)+(b%c))%c

m%n举例：

123 % n = (((1%n10%n+2%n)%n10%n)%n+3%n)%n

关键：

gets(a);
len=strlen(a);
for(i=0;i<len;i++)
num=（num*10+(int)a[i]-'0')%10003;

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自己写的被7整除的栗子：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    int m,i,len,num,sum,j;
    char a[10000];
    gets(a);
    len=strlen(a);
    sum=0;
    for(i=0;i<len;i++)
    {
        num=a[i]-'0';
        for(j=0;j<len-1-i;j++)
            num=(num*3)%7;
        sum=(sum+num)%7;
    }
    if(sum==0)printf("yes\n");
}

（利用3≡10%7）